Mediana co to? Zastosowanie, wzory i porównanie ze średnią

Mediana, nazywana też wartością środkową lub drugim kwartylem, to ważna miara w statystyce, która wskazuje środek uporządkowanego zbioru danych. Dzieli ona dane na dwie równe części – połowa obserwacji jest mniejsza lub równa tej wartości, a połowa większa lub równa. W odróżnieniu od średniej arytmetycznej mediana dobrze znosi wartości skrajne (outliery). Dzięki temu często lepiej pokazuje typową wartość, zwłaszcza gdy rozkład jest skośny lub zawiera ekstremalne obserwacje.

Znajomość mediany jest potrzebna każdemu, kto analizuje dane – od prostych list liczb po złożone zestawienia ekonomiczne. Ma zastosowanie praktyczne w ekonomii (np. mediana płac), badaniach rynkowych, edukacji, a nawet w grafice komputerowej. Dalej omówimy definicję mediany, jej rolę w statystyce, sposoby liczenia dla różnych danych oraz porównanie z innymi miarami środka, aby lepiej pokazać, kiedy i jak z niej korzystać.

Czym jest mediana?

Definicja mediany

Mediana (ang. Median) to miara położenia w zbiorze danych, która po uporządkowaniu liczb zajmuje środkowe miejsce. Dzieli populację statystyczną na dwie równe części: 50% obserwacji jest nie większe od mediany, a 50% nie mniejsze. Mediana to kwantyl rzędu 1/2, inaczej drugi kwartyl: 25% danych leży poniżej pierwszego kwartyla, 50% poniżej mediany, a 75% poniżej trzeciego kwartyla.

Mediana ma też ciekawą własność: jest tą liczbą, dla której średnia z modułów odchyleń (różnic bezwzględnych) wszystkich obserwacji od niej jest najmniejsza. W tym sensie to najlepsze pojedyncze oszacowanie wartości, jeśli błędem jest moduł różnicy. Ponieważ jest odporna na wartości odstające, bywa bardzo przydatna, gdy w danych występują skrajności, które zniekształcają inne miary środka.

Znaczenie mediany w analizie danych

Mediana świetnie sprawdza się przy rozkładach niesymetrycznych. W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej prawie nie reaguje na wartości skrajne, dlatego lepiej oddaje typowy poziom w wielu dziedzinach, np. ekonomii i socjologii. Pomaga szybko wskazać centralny punkt danych i bywa lepszym opisem „typowego” wyniku w zestawach skośnych. Jest też stałym elementem wizualizacji (np. wykresów pudełkowych), które pokazują rozkład i położenie środka danych.

Jak działa mediana w statystyce?

Mediana w odniesieniu do punktów danych

Mediana dotyczy konkretnych obserwacji w zbiorze. Aby ją znaleźć, najpierw trzeba uporządkować dane rosnąco (lub malejąco). Ponieważ zależy od miejsca w szeregu, jest miarą pozycyjną, a nie opartą na sumach wartości, jak średnia.

Dane mogą być ilościowe (liczbowe, mierzalne, np. wzrost, waga, wiek) lub jakościowe (kategorie, np. kolory). Medianę stosuje się głównie do danych liczbowych, które można uporządkować. Jako wartość środkowa dzieli zbiór na dwie równe części i wskazuje, gdzie faktycznie leży środek rozkładu, niezależnie od obecności wartości skrajnych.

Kiedy warto stosować medianę zamiast średniej?

Wybór między medianą a średnią zależy od charakteru danych i celu analizy. Mediana jest lepsza przy rozkładach skośnych i w obecności outlierów. Wtedy średnia bywa myląca, bo skrajne wartości mogą ją mocno podnosić lub obniżać, co nie odzwierciedla typowego wyniku większości obserwacji.

Dobrym przykładem są zarobki. Nieliczni bardzo bogaci mogą podbić średnią, przez co „przeciętny” poziom płac wygląda na wyższy niż w rzeczywistości. Mediana płac (np. 4 980,63 zł brutto w 2021 r.) mówi, że połowa pracujących zarabiała mniej, a połowa więcej – i to lepiej pokazuje realny poziom wynagrodzeń. Medianę stosuje się też przy skalach porządkowych (gdy liczy się kolejność, a nie równe odległości) oraz w grafice komputerowej i przetwarzaniu sygnałów, gdzie filtr medianowy usuwa szum bez rozmywania krawędzi.

Sposoby wyznaczania mediany

Liczenie mediany jest proste, ale wymaga porządku w danych. Najpierw zawsze ustaw dane od najmniejszej do największej. Potem patrzymy, czy mamy liczbę elementów nieparzystą, czy parzystą, i stosujemy odpowiednią metodę.

Bez tego wstępnego uporządkowania nie znajdziemy poprawnie środka zbioru. Po ułożeniu szeregu można wybrać metodę odpowiednią do liczby obserwacji. Poniżej opis obu przypadków.

Mediana dla nieparzystej liczby elementów

Gdy liczba elementów jest nieparzysta, po uporządkowaniu medianą jest wartość dokładnie w środku. Po obu stronach leży tyle samo obserwacji.

Przykład: 1, 3, 5, 7, 9. Jest 5 elementów. Wartość środkowa to 5 (po lewej: 1, 3; po prawej: 7, 9). Mediana tego zbioru to 5. Pozycję mediany dla n nieparzystego wyznacza wzór (n+1)/2. Dla n=5 mamy (5+1)/2 = 3, więc wybieramy trzecią wartość w szeregu.

Mediana dla parzystej liczby elementów

Gdy liczba elementów jest parzysta, po środku leżą dwie wartości. Mediana to średnia arytmetyczna tych dwóch liczb.

Przykład: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Dwie wartości środkowe to 5 i 7. Mediana = (5 + 7) / 2 = 6. Dla zbioru 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 wartości środkowe to 7 i 9, więc mediana = (7 + 9) / 2 = 8. Istnieje też wersja używana np. w przetwarzaniu dwubarwnych map bitowych, gdzie dla parzystego n losuje się jedną z dwóch wartości środkowych. Można też przyjąć dowolną liczbę z przedziału między tymi dwiema wartościami, bo każda z nich minimalizuje średnią z modułów odchyleń.

Wzory i metody obliczania mediany

Inaczej liczymy medianę dla danych niezgrupowanych (pojedyncze obserwacje), a inaczej dla danych pogrupowanych w przedziały. W pierwszym przypadku wystarczy uporządkować liczby. W drugim potrzebny jest wzór, który pozwala oszacować wartość środkową na podstawie częstości w klasach.

Przy danych niezgrupowanych obliczenia są bezpośrednie. Przy danych pogrupowanych, typowych w dużych zbiorach, posługujemy się wzorem, bo znamy tylko rozkład w przedziałach, a nie dokładne wartości każdej obserwacji.

Wzór dla danych niezgrupowanych

Dla surowych danych (niezgrupowanych) postępujemy tak: porządkujemy wartości rosnąco, a następnie:

• gdy n jest nieparzyste: bierzemy wartość na pozycji (n+1)/2,
• gdy n jest parzyste: liczymy średnią dwóch środkowych wartości na pozycjach n/2 oraz (n/2)+1.

Przykład dla n=5: 1, 2, 3, 4, 5 → mediana to trzecia wartość, czyli 3. Przykład dla n=6: 1, 3, 5, 7, 9, 11 → wartości środkowe to 5 i 7; mediana = (5+7)/2 = 6.

Wzór dla danych pogrupowanych

Gdy dane są w przedziałach klasowych z podaną częstością, używamy wzoru:

Mediana = l + ((n/2) - cf) / f * h

Gdzie:

• l – dolna granica klasy mediany,
• n – łączna liczba obserwacji,
• cf – skumulowana częstość klasy poprzedzającej klasę medianową,
• f – częstość klasy medianowej,
• h – szerokość przedziału klasy.

Najpierw znajdujemy klasę medianową, czyli pierwszą, dla której skumulowana częstość osiąga lub przekracza n/2. Przykład: n=40, szukamy progu 20. Jeśli klasa mediany to 20-30, l=20, cf=12, f=12, h=10, to: Mediana = 20 + ((40/2) - 12) / 12 * 10 = 20 + (20 - 12) / 12 * 10 = 20 + 8/12 * 10 = 20 + 6,67 = 26,67.

Jak obliczyć medianę w praktyce?

Przy większych zbiorach danych mediany zwykle nie liczymy ręcznie. Popularne programy i narzędzia biurowe mają wbudowane funkcje, które robią to szybko i bez błędów. Dzięki temu każdy może łatwo wyznaczyć medianę i użyć jej w analizie.

Najczęściej używa się arkuszy kalkulacyjnych, takich jak Microsoft Excel i Google Sheets. Ich funkcje są podobne, więc raz poznana metoda działa w obu programach.

Mediana w Excelu i Google Sheets

Aby obliczyć medianę w Google Sheets lub Excelu, użyj funkcji MEDIANA():

1. Wpisz dane w kolumnie lub wierszu.
2. Wybierz pustą komórkę na wynik.
3. Wpisz =MEDIANA( i zaznacz zakres, np. A1:A10.
4. Zamknij nawias i naciśnij Enter.

Program uporządkuje dane i wyliczy medianę odpowiednio dla n parzystego lub nieparzystego. Przykłady: dla A1:A5 = 10, 20, 30, 40, 50, formuła =MEDIANA(A1:A5) zwróci 30. Dla A1:A6 = 10, 20, 30, 40, 50, 60 wynik to 35. W Looker Studio użyj funkcji MEDIAN, a w BigQuery MEDIAN() – działają podobnie, także dla grup danych.

Przykłady zastosowania mediany

Mediana ma wiele praktycznych zastosowań. Dzięki odporności na wartości odstające dobrze opisuje typowe zachowania i wyniki, gdy rozkład jest nierówny lub zawiera skrajności. Pomaga uniknąć błędów, które pojawiają się przy użyciu samej średniej.

Ekonomia, badania rynku, edukacja czy medycyna – w tych obszarach mediana daje wartościowe informacje, które wspierają decyzje. Oto kilka przykładów.

Mediana zarobków w Polsce

Mediana płac lepiej pokazuje typowy poziom wynagrodzeń niż średnia. Rozkład dochodów jest zwykle skośny: niewielka grupa osób o bardzo wysokich zarobkach zawyża średnią i zaciera obraz sytuacji większości.

W 2021 roku mediana zarobków w Polsce wynosiła 4 980,63 zł brutto. Oznacza to, że połowa pracowników zarabiała mniej, a połowa więcej. To bardziej reprezentatywna informacja niż średnia. Mediana różni się też w zależności od regionu, branży i stanowiska – najwyższe płace częściej są w finansach, IT i telekomunikacji, niższe w handlu, gastronomii i usługach.

Mediana w praktyce: przykłady z życia codziennego

W badaniach rynkowych mediana pomaga określić typowe wydatki klientów, bez wpływu kilku bardzo wysokich zakupów. Dzięki temu łatwiej planować ceny i kampanie.

W edukacji mediana wyników testów lepiej oddaje typowy poziom niż średnia, która może być zaburzona przez kilka bardzo niskich lub bardzo wysokich ocen.

W medycynie mediana czasu przeżycia po leczeniu mówi, po jakim czasie połowa pacjentów żyje. Ta miara jest odporna na skrajne przypadki.

W grafice komputerowej i przetwarzaniu sygnałów filtr medianowy usuwa szum, a jednocześnie zachowuje ostre krawędzie, co poprawia jakość obrazu bez utraty detali.

Porównanie: mediana, średnia arytmetyczna i dominanta

W statystyce często używa się trzech miar środka: mediany, średniej arytmetycznej i dominanty. Każda opisuje „środek” inaczej, więc sprawdza się w innych sytuacjach. W rozkładach symetrycznych zwykle dają podobne wyniki, jednak w danych rzeczywistych rzadko mamy pełną symetrię.

Różnice między medianą, średnią a dominantą

• Średnia arytmetyczna – suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę. Popularna i prosta, ale bardzo wrażliwa na wartości skrajne. W rozkładzie normalnym średnia, mediana i dominanta są równe.
• Mediana – wartość środkowa w uporządkowanym zbiorze. Odporna na outliery, dobrze opisuje środek przy rozkładach skośnych. Dzieli dane na dwie równe części.
• Dominanta (moda) – najczęściej występująca wartość. Dobra dla danych kategorycznych i dyskretnych. Może być jedna, kilka (rozkład wielomodalny) lub nie występować.

Relacje przy skośności:

• Skośność dodatnia (ogon w prawo): Dominanta < Mediana < Średnia.
• Skośność ujemna (ogon w lewo): Średnia < Mediana < Dominanta.

Tabela podsumowująca:

Ograniczenia i wyzwania związane z medianą

Mimo wielu zalet mediana nie jest dobra w każdym zadaniu. Warto wiedzieć, kiedy jej użycie może prowadzić do utraty informacji albo zbyt uproszczonego obrazu danych. Najlepiej łączyć ją z innymi miarami i wizualizacjami.

Poniżej pokazujemy sytuacje, w których mediana może być mniej pomocna lub wymaga ostrożnej interpretacji.

Czy mediana jest zawsze reprezentatywna?

Nie zawsze. Przykłady:

• Małe próby – w niewielkich zbiorach drobna zmiana jednej wartości może przesunąć medianę o wiele, co obniża jej stabilność.
• Utrata informacji – mediana nie wykorzystuje wszystkich wartości. Dwa zbiory mogą mieć tę samą medianę, a zupełnie inny rozrzut i zakres.
• Pomijanie ważnych skrajności – jeśli wartości odstające są istotne (np. sygnalizują rzadkie, ważne zdarzenia), sama mediana ich nie pokaże.
• Mniejsza przydatność w modelach – w przeciwieństwie do średniej mediana rzadziej pojawia się w wzorach i testach parametrycznych. Stosuje się też warianty pośrednie, np. średnią ucinaną (odrzuca skrajne procenty danych).

Pojęcia pokrewne i praktyczne wskazówki

Sama mediana to tylko jeden element opisu danych. Warto znać też kwartyle, decyle, rozstęp, odchylenie standardowe czy wykresy pudełkowe. Razem dają pełniejszy obraz rozkładu i pomagają uniknąć błędnych wniosków.

Znajomość typowych błędów ułatwia poprawną interpretację wyników i lepszą komunikację wniosków.

Błędy i nieporozumienia dotyczące mediany

Najczęstsze problemy:

• Mylona ze średnią – w danych realnych zwykle różnią się. Średnia mocno reaguje na outliery, mediana prawie wcale.
• Użycie przy bardzo małych n – mediana bywa niestabilna; lepiej pokazać cały rozkład lub dodać inne miary.
• Brak uporządkowania danych – bez ułożenia rosnąco wynik będzie błędny (mediana jest miarą pozycyjną).
• Ograniczona rola w dalszych obliczeniach – trudniej włączać medianę do niektórych testów i modeli niż średnią.
• Ignorowanie skrajności – outliery mogą być ważne same w sobie. Obok mediany warto sprawdzić kwartyle, zakres i użyć wykresu pudełkowego.